十字相乘法

十字相乘法是因式分解中十四种方法之一,它其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解的。

通常地,对于二次三项式ax²+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1·a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1·c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下:

十字相乘法的图示

按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1a2x+c2之积,即:

ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)

像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字分解法。

基本式子:x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
复杂式子:abx2+(ac+bd)x+cd=(ax+d)(bx+c)

判定:对于形如ax²+bx+c的多项式,在判定它能否使用十字分解法分解因式时,可以使用Δ=b²-4ac进行判定。当Δ为完全平方数(注释:如果一个自然数a是某一个整数b的平方,那么这个自然数a叫做完全平方数。零也可称为完全平方数。)时,可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。

重点:灵活运用十字分解法把某些二次项系数不为1的二次三项式分解因式,但并不是所有二次多项式都可以用十字相乘法来分解因式。

实例:

1).3x2-11x+10=(3x-5)(x-2)
2).6x2-xy-15=(2xy+3)(3xy-5)
3).5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y)

示例

4).6x2+5x-6=(2x+3)(3x-2)
5).x3-4x2+3x=x(x2-4x+3)=x(x-3)(x-1)

6).双十字相乘法分解因式:
  x2-(2a+3)x+a2+3a+2=x2-(2a+3)x+(a+1)(a+2)=(x-a-1)(x-a-2)

(双)十字相乘法举例

7).3x2+5xy-2y2+x+9y-4=(3x-y)(x+2y)+x+9y-4=(3x-y+4)(x+2y-1)

作者: Hugh

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