数、式、方程(组)
实数R包括:
- 有理数Q:整数Z(自然数N、负整数N-)、分数(有限小数或无限循环小数)
- 无理数:无限不循环小数
在大于1的自然数中,只能被1和其自身整除的数叫素数(又称质数,如2、3、5、7、11、13、17、19、23等等。),否则称为合数。规定1既不是质数也不是合数。
质数的个数是无限的,任一大于1的自然数,要么本身是质数,要么可以分解为几个质数之积,且这种分解是唯一的。
倒数:1除以某个不为零的数所得的商称为这个数的倒数,零没有倒数。a的倒数为1/a(a≠0),且。
所有大于或等于零的数叫做非负数,如|a|
、a2
的运算结果都是非负数。
运算法则
- a0=an-n=an÷an=1(a≠0)
- (a≠0,p为正整数)
证明:a-p=a0-p=a0÷ap=1/ap - ;
- ;(n为不等于0的整式)
- 同底数幂相乘,底数不变,指数相加:am×an=am+n
- 同底数幂相除,底数不变,指数相减:(a≠0,m>n)
- 幂的乘方,底数不变,指数相乘:(am)n=amn
- 积的乘方,将各个因式分别乘方:(ab)n=an×bn
- 分式乘方,将分子和分母分别乘方:
- (a≥0,b≥0)
- (a≥0,b>0)
- ;
- (a≥0,m,n∈N,为既约分数)
- (a≠0,n≠0)
- 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
- 完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
- 立方和、差公式:a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)
- 完全立方公式:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
- 底的对数等于1,即logaa=1
- 1的对数等于0,即loga1=0
- 零和负数无对数
- 对数恒等式:(N>0)
- 对数函数y=logax(a>0,且a≠1),那么:
- 当底数大于1时为增函数,大于1的真数的对数为正,大于0小于1的真数的对数为负。
- 当底数小于1而大于0时为减函数,大于1的真数的对数为负,大于0小于1的真数的对数为正。
- 当底数大于1时为增函数,大于1的真数的对数为正,大于0小于1的真数的对数为负。
- loga(MN)=logaM+logaN(M>0,N>0)
- logaM/N=logaM-logaN(M>0,N>0)
- logaMn=nlogaM(M>0)
- (M>0,n∈N且n>1)
- 换底公式:
- logab·logba=1
- 提取公因式:ma+mb+mc=m(a+b+c)
- 十字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
一元二次方程
1、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)求根公式:
2、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)根的判别式:∆=b2-4ac
- 当∆>0时,方程有两个不相等的实数根;
- 当∆<0时,方程有两个相等的实数根;
- 当∆=0时,方程没有实数根。
3、根与系数的关系:
如果x1、x2是方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
的两个根,则有:
反之,若x1+x2=q
,x1·x2=p
,则x2-qx+p=0
是以x1和x2为根的一元二次方程。
正比例函数、反比例函数和一次函数
正比例函数解析式:y=kx(k为常数,且k≠0)
一次函数解析式:y=kx+b(k,b是常数,且k≠0)
反比例函数解析式:y=k/x(k为不等于0的常数)
二次函数
性质:a>0时,图像开口向上;a<0时,图像开口向下。
- 一般解析式:
y=ax2+bx+c(a≠0)
,顶点坐标为 - 顶点解析式:
y=a(x-h)2+k(a≠0)
,顶点坐标为(h,k) - 交点解析式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
,x1、x2是抛物线与X轴的两个交点横坐标
不等式和不等式组
不等式的性质
- 对称性:若a>b,则b<a;若a<b,则b>a
- 传递性:若a>b,b>c,那么a>c
- 加法原则:若a>b,那么a+c>b+c
- 乘法原则:若a>b,c>0,那么ac>bc;
若a>b,c<0,那么ac<bc - 充分不必要条件:若a>b,c>d,那么a+c>b+d
- 若a>b>0,c>d>0,那么ac>bd
- 若a>b,ab>0,那么
- 若a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1)
- 若a>b>0,那么(n∈N,n>1)
- |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,且当a,b同号是取等号)
基本不等式
- 如果a∈R,那么a2≥0(当且仅当a=0时取“=”)
- 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)
证明:由(a-b)2≥0得出a2+b2-2ab≥0 ∴a2+b2≥2ab
同理得到a2+b2+2ab≥4ab ∴ - 均值定理:如果a,b∈R,且a≥0,b≥0,那么(当且仅当a=b时取“=”)。
若a+b为定值,当a=b时,ab的值最大;若ab为定值,当a=b时,a+b的值最小。 - 若a>0,则(当且仅当a=1时取“=”)
证明:设1/a=b,代入均值不等式中
得到
∴