数学笔记

数、式、方程(组)

实数R包括:

  • 有理数Q:整数Z(自然数N、负整数N-)、分数(有限小数或无限循环小数)
  • 无理数:无限不循环小数

在大于1的自然数中,只能被1和其自身整除的数叫素数(又称质数,如2、3、5、7、11、13、17、19、23等等。),否则称为合数。规定1既不是质数也不是合数。

质数的个数是无限的,任一大于1的自然数,要么本身是质数,要么可以分解为几个质数之积,且这种分解是唯一的。

倒数:1除以某个不为零的数所得的商称为这个数的倒数,零没有倒数。a的倒数为1/a(a≠0),且

所有大于或等于零的数叫做非负数,如|a|a2的运算结果都是非负数。

运算法则

  • a0=an-n=an÷an=1(a≠0)
  • (a≠0,p为正整数)
    证明a-p=a0-p=a0÷ap=1/ap
  • (n为不等于0的整式)
  1. 同底数幂相乘,底数不变,指数相加:am×an=am+n
  2. 同底数幂相除,底数不变,指数相减:(a≠0,m>n)
  3. 幂的乘方,底数不变,指数相乘:(am)n=amn
  4. 积的乘方,将各个因式分别乘方:(ab)n=an×bn
  5. 分式乘方,将分子和分母分别乘方:
  6. (a≥0,b≥0)
  7. (a≥0,b>0)
  8. (a≥0,m,n∈N,为既约分数)
  9. (a≠0,n≠0)
  • 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
  • 完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
  • 立方和、差公式:a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)
  • 完全立方公式:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
  1. 底的对数等于1,即logaa=1
  2. 1的对数等于0,即loga1=0
  3. 零和负数无对数
  4. 对数恒等式:(N>0)
  5. 对数函数y=logax(a>0,且a≠1),那么:
    • 当底数大于1时为增函数,大于1的真数的对数为正,大于0小于1的真数的对数为负。
    • 当底数小于1而大于0时为减函数,大于1的真数的对数为负,大于0小于1的真数的对数为正。
  6. loga(MN)=logaM+logaN(M>0,N>0)
  7. logaM/N=logaM-logaN(M>0,N>0)
  8. logaMn=nlogaM(M>0)
  9. (M>0,n∈N且n>1)
  10. 换底公式:
  11. logab·logba=1
  • 提取公因式:ma+mb+mc=m(a+b+c)
  • 十字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

一元二次方程

1、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)求根公式:

2、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)根的判别式:∆=b2-4ac

  • 当∆>0时,方程有两个不相等的实数根;
  • 当∆<0时,方程有两个相等的实数根;
  • 当∆=0时,方程没有实数根。

3、根与系数的关系:

如果x1、x2是方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根,则有:

反之,若x1+x2=qx1·x2=p,则x2-qx+p=0是以x1和x2为根的一元二次方程。

正比例函数、反比例函数和一次函数

正比例函数解析式:y=kx(k为常数,且k≠0)

一次函数解析式:y=kx+b(k,b是常数,且k≠0)

反比例函数解析式:y=k/x(k为不等于0的常数)

二次函数

性质:a>0时,图像开口向上;a<0时,图像开口向下。

  • 一般解析式:y=ax2+bx+c(a≠0),顶点坐标为
  • 顶点解析式:y=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k)
  • 交点解析式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1、x2是抛物线与X轴的两个交点横坐标

不等式和不等式组

不等式的性质

  • 对称性:若a>b,则b<a;若a<b,则b>a
  • 传递性:若a>b,b>c,那么a>c
  • 加法原则:若a>b,那么a+c>b+c
  • 乘法原则:若a>b,c>0,那么ac>bc;
         若a>b,c<0,那么ac<bc
  • 充分不必要条件:若a>b,c>d,那么a+c>b+d
  • 若a>b>0,c>d>0,那么ac>bd
  • 若a>b,ab>0,那么
  • 若a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1)
  • 若a>b>0,那么(n∈N,n>1)
  • |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,且当a,b同号是取等号)

基本不等式

  1. 如果a∈R,那么a2≥0(当且仅当a=0时取“=”)
  2. 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)
    证明:由(a-b)2≥0得出a2+b2-2ab≥0 ∴a2+b2≥2ab
        同理得到a2+b2+2ab≥4ab ∴
  3. 均值定理:如果a,b∈R,且a≥0,b≥0,那么(当且仅当a=b时取“=”)。
    若a+b为定值,当a=b时,ab的值最大;若ab为定值,当a=b时,a+b的值最小。
  4. 若a>0,则(当且仅当a=1时取“=”)
    证明:设1/a=b,代入均值不等式
        得到
       

作者: Hugh

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